函数y=（sinx+1）（2cosx-2）（x∈R）的值域
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这样做的。答案是[-3-2√2,0]
解:因为y=2sinxcosx-2sinx+2cosx-2=2sinxcosx-2(sinx-cosx)-2
令sinx-cosx=t
因为(sinx-cosx)²=t²
sin²x-2sinxcosx+cos²x=t²
1-2sinxcosx=t²
所以2sinxcosx=1-t²,
所以y=1-t²-2t-2y=-t²-2t-1=-（t+1)²
又因为t=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)
由正弦函数的性质可得-√2≤t≤√2
因为-1∈[-√2,√2]
由由二次函数在限定区间的单调性可得
当t=-1时,y取最大值
y(max)=0
当t=√2时,,y取最小值
y(min)=-3-2√2
所以原函数的值域为[-3-2√2,0]
解:因为y=2sinxcosx-2sinx+2cosx-2=2sinxcosx-2(sinx-cosx)-2
令sinx-cosx=t
因为(sinx-cosx)²=t²
sin²x-2sinxcosx+cos²x=t²
1-2sinxcosx=t²
所以2sinxcosx=1-t²,
所以y=1-t²-2t-2y=-t²-2t-1=-（t+1)²
又因为t=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)
由正弦函数的性质可得-√2≤t≤√2
因为-1∈[-√2,√2]
由由二次函数在限定区间的单调性可得
当t=-1时,y取最大值
y(max)=0
当t=√2时,,y取最小值
y(min)=-3-2√2
所以原函数的值域为[-3-2√2,0]
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