Question

y=f(x)关于点(a,b)对称的表达式是什么

Answer 1

y=f(x)关于x=a对称的表达式，
定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b－f(2a－x)，则y=f(x)关于点(a,b)对称
证明：依题意,定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b－f(2a－x).
可将2a－x看成x’,即2a－x=x’→x+x’=2a.①
f(x)=2b－f(x’)→f(x)=2b－f(x’)→f(x)+f(x’)=2b.②
由①②可知对于函数y=f(x)上任意的(x,f(x))都存在(x’,f(x’))与之关于点(a,b)对称,所以定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b－f(2a－x)，则y=f(x)关于点(a,b)对称[解题过程]从函数表达式来研究，
对于直线对称：若f(x)关于x=a对称，则有f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x)；
对于点对称：f(x)关于（a，0）对称，则有f(x)=-(2a-x)或f(a+x)=-f(a-x)。
对于奇函数[f(x)=-f(-x)]和偶函数[f(x)=f(-x)],则是这两类对称中的特例。
延伸：若是f(a+x)=f(b+x)，则函数关于关于直线x=(a+b)/2对称
①
函数f(x)
（1）是偶函数，
（2）关于x=a对称
分析：由条件（2），可得f(a+x)=f(a-x),又由条件(1)，所以f(x+a)=f(x-a)。
(以x+a代替上式中的x)，所以f(x)=f(2a+x)，由周期定义f(x)=f(T+x)，所以f(x)是以|2a|为周期的函数
②
函数f(x)
（1）是奇函数，（2）关于x=a对称
分析：由条件（2），可得f(x)=f(2a-x)又由条件(1)f(x)=-f(-x),所以-f(-x)=f(2a-x)，即-f(x)=f(2a+x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，可得函数f(x)是以|4a|为周期的函数，

Answer 2

y=f(x)关于点（a,b)对称的函数方程表达式为
2b-y=f(2a-x)，即:
y=2b-f(2a-x)