Question

求微分方程dy/dx+y/x=sinx/x满足初始条件y | (x=n)=1的特解

需过程

Answer 1

两边同乘以x，得xdy/dx+y=sinx。
定义新变量u=xy，则du=xdy+ydx，所以du/dx=xdy/dx+y，恰为上面方程的左边。所以方程成为
du/dx=sinx，
易解得u=-cosx+C，
所以y=u/x=-cosx/x+C/x，C为任意常数。
代入初始条件y|{x=n}=1，得1=-cos(n)/n+C/n，所以C=n+cos(n)，代入通解即得所求特解
y=-cosx/x+[n+cos(n)]/x

Answer 2

变量代换：y=z/x
d(z/x)/dx+z/x^2=sinx/x
dz/dx=sinx
z=-cosx+C
代入可得
y=-cosx/x+C/x
代入初值
1=-cosn/n+C/n
C=n+cosn
y=-cosx/x+(n+cosn)/x