Question

求证:关于x的方程ax^2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a<=1求讲解

Answer 1

充分性:
当a=0时，2x+1=0,得x=-1/2
a<=1且不为0时，为2次方程，判别式=4-4a>=0,必有实根。
两根和=-2/a,
两根积=1/a.
若a<0,则两根积为负，因此两根一正一负;
若0<a<1,则两根和为负，因此必有负根。
故充分性成立。
必要性:
设负根为x,则有a=-(2x+1)/x^2=-1/x^2-2/x=-(1/x+1)^2+1<=1
必要性成立。