Question

已知圆X2+(y-2)2=5.直线L:mx-y+1=0 已知直线交圆AB两点恒成立、点M为AB的中点，求中点M的轨迹方程

Answer 1

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分析：（1）利用直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），而定点（0，1）在圆的内部，从而证明结论成立．
（2）
设中点M的坐标为（x，y），由AB⊥OM
可得
m=x/2-y，直角三角形DCM
中，利用勾股定理求得点M的轨迹方程．

解：（1）证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），
点D到圆心（0，2）的距离等于1
小于圆的半径5，
故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
（2）
设中点M的坐标为（x，y），则由直线和圆相交的性质可得AB⊥OM，
∴kCM=-1/KAB=-1/m，y-2/x-0=-1/m，∴m=x/2-y．
由于定点D（0，1）、圆心C、点M
构成直角三角形，由勾股定理得
CM2+DM2=CD2，∴x2+（y-2）2+x2+（y-1）2=（2-1）2，
2x2+2y2-6y+4=0，即
x2+(y-3/2)2=1/4．此圆在圆C：x2+（y-2）2=5
的内部，
故点M的轨迹方程为
x2+(y-3/2)2=1/4．