Question

高数 求极限 x→0时 lim(a^x-1)/x=?

Answer 1

这个问题之前有人问过我，再回答一遍给你。
一般人会用洛必达法则：　　
设
　　
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
　　
(3)当x→a时lim
f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
　　
x→a时
lim
f(x)/F(x)=lim
f'(x)/F'(x)。
具体你的题目就是分子求导得到a^x*lna，分母求导得到1，再取极限x->0，分子变成lna，就是极限值。
但是题目要求的这个极限其实就是函数a^x在0处的导数值，因为导数本身就是由这个极限定义出来的。所以这里不应该再用求导的方法来做。下面的方法有点麻烦，但是却是这道题的最好的解答，你应该可以看得懂：
令a^x-1=t，根据指数函数连续性，当x->0时，t->0
然后，x=loga(1+t)，（以a为底的对数）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)]
并且
x->0变成是t->0的极限
因为[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
并且，t->0时，[(1+t)^(1/t)]=e是显然的。
所以
[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
->
loga(e)
所以
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)]
->
1/loga(e)=lna