Question

微积分求体积，请问这题怎么写？

Answer 1

设球面方程为：x^2+y^2+z^2=a^2
令内接长方体在球面的第一卦限中的顶点为(x,y,z)
则x=asinkcost，y=asinksint，z=acosk，其中0<k<π/2，0<t<π/2
则内接长方体的体积V=|2x*2y*2z|
=8|xyz|
=8*asinkcost*asinksint*acosk
=8a^3*sin^2k*cosk*sintcost
=4a^3*sin^2k*cosk*sin2t
∂V/∂k=4a^3*sin2t*(sin2k*cosk-sin^3k)=0
∂V/∂t=8a^3*cos2t*sin^2k*cosk=0
两式联立，得：k=arctan√2，t=π/4
Vmax=4a^3*sin^2(arctan√2)*cos(arctan√2)*sin(2*π/4)
=4a^3*(2/3)*(1/√3)
=(8√3/9)*a^3

Answer 2

这个长方体是正方体，设正方体的边长为m，
根据几何关系可得：
m²+m²+m²=(2a)²
3m²=(2a)²
√3m=2a
m=2a/√3
m³=(2a/√3)³
m³=8a³/3√3
m³=8√3a³/9
所以最大的长方体的体积是：8√3a³/9