Question

1*2+2*3+3*4+4*5……+n(n-1)=?

Answer 1

应该是1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)
吧
一。n(n+1)=n^2+n
原式=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2)+(1+2+3+...+n)
分组求和，根据公式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6以及
1+2+3+...+n=n*(n+1)/2
所以原式=n(n+1)(2n+1)/6
+
n*(n+1)/2
=(n+2)(n+1)n/3
二。裂项求和。
n(n+1)=[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
也就是
1*2=(3*2*1-2*1*0)/3,
2*3=(4*3*2-3*2*1)/3.....
所以原式=(3*2*1-2*1*0)/3
+
(4*3*2-3*2*1)/3
+(5*4*3-4*3*2)/3
+...+[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
中间项都可以消去
=(n+2)(n+1)n/3