Question

1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n(n+1)(n+2)

Answer 1

解：裂项法
n*(n+1)*(n+2)=1/4*n*(n+1)*(n+2)[n+3-(n-1)]
Sn=1*2*3+2*3*4+3*4*5+...+n*(n+1)*(n+2)
=1/4{1*2*3*(4-0)+2*3*4*(5-1)+3*4*5*(6-2)...+n*(n+1)*(n+2)[n+3-(n-1)]}
如此裂项相消
原式= n*(n+1)*(n+2）*（n+3）/4

Answer 2

这是一个很有规律的数列求和
1*2*3=(1*2*3*4-0*1*2*3)/(4-0)，括号里1*2*3是公因数，提出后剩下(4-0),把它除掉就是1*2*3了
2*3*4=(2*3*4*5-1*2*3*4)/(5-1)， 同理
...
n*(n+1)(n+2)=[n*(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n*(n+1)(n+2)]/[(n+3)-(n-1)]
分母都是4
相加，所有中间项都消去了
只剩首尾Sn=[n*(n+1)(n+2)(n+3)-0*1*2*3]/4=n*(n+1)(n+2)(n+3)/4
把n=1代入S1=6=1*2*3
对的

Answer 3

1*2*3=1*2*3*4*(1/4)
1*2*3+2*3*4=2*3*4*5*(1/4)
因此1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)(1/4)
原式=n(n+1)(n+2)(n+3)(1/4)

Answer 4

=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

追答

裂项抵消。
n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4-(n-1)n(n+1)(n+2)/4