Question

过椭圆x2/5+y2/4=1的左焦点作椭圆的弦，求弦中点中点的轨迹方程。

Answer 1

a^2=5,b^2=4,c^2=a^2-b^2=1.

故左焦点坐标是:F1(-1,0).

设弦AB坐标分别是:A(X1,Y1),B(X2,Y2),

中点P坐标是(X,Y)

那么有:X1+X2=2X,Y1+Y2=2Y

又:x1^2/5+y1^2/4=1
x2^2/5+y2^2/4=1

二式相减得:(x1+x2)(x1-x2)/5+(y1+y2)(y1-y2)/4=0

即AB的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(2x/5)/(2y/4)=-4x/5y.

又k=k(PF1)=(y-0)/(x+1)

故有:-4x/5y=y/(x+1)

即:5y^2=-4x(x+1)

化简得:4x^2+5y^2+4x=0.

Answer 2

设弦为AB，且斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)中点M(x，y)，把A、B坐标分别代入椭圆，两式相减得：(x1+x2)/5+(y1+y2)(y1-y2)/4(x1-x2)=0
即2x/5+2yk/4=0