Question

函数f(x)=ax^4-4ax^3+b(a>0)(x∈[1，4])的最大值为6，最小值为-6，则ab=

Answer 1

f(x)=ax^4-4ax^3+b
f'x=4ax^3-12ax^2
4ax^3-12ax^2=0
x=0或x=3
f“x=12ax^2-24ax,
x=3时f”x>0,所以f(x)是极小值点，［1，3］f‘x<0
[3,4]f'x>0,(a>0)
所以［1，4］上最小是f(3)=81a-108a+b=-27a+b=-6
最大值在x=1或x=4处，f(1)=a-4a+b=-3a+b=6
联立解出a=1/2
b=15/2
这时f(4)=15/2>6不合题意
f(4)=b=6,
a=10/27这时f(1)=-3a+b=-27/30+6<6
综上a=10/27，b=6
ab=20/9