Question

求函数Y=x+x/(x^2-1)的单调区间,凹凸区间,极值，拐点，渐近线

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

y=x^3/(x^2-1)
y'=[3x^2(x^2-1)-2x^4]/(x^2-1)^2=x^2(x^2-3)/(x^2-1)^2
由y'=0得：x=0,√3,
-√3,
其中x=0时y'左右邻域不变号,即x=0不是极值点。
单调增区间：x>√3,
或x<-√3
单调减区间：(-√3,-1)U(-1,1)U(1,√3)
极大值f(-√3)=-3√3/2,
极小值f(√3)=3√3/2
y"=2x(x^2+3)/(x^2-1)^3
凸区间：x<-1,
(-1,0)
凹区间：(0,
1),
x>1
拐点(0,
0)
垂直渐近线：x=-1,及x=1
斜渐近线：k=limy/x=1,
b=lim(y-kx)=lim[x^3/(x^2-1)-x]=lim[x/(x^2-1)]=0,
故斜渐近线为y=x
没有水平渐近线。

Answer 3

x>0
y=lnx/x
y'=(1-lnx)/x^2
令y'=0，x=e
当0<x<e时，y'<0，y递增；当x>e时，y'>0，y递减
则(0，e)为减区间；(e，+∝)为增区间
当x=e时，f(e)=1/e为极小值
y''=(2lnx-3)/x^3
令y''=0，x=e^(3/2)
则(0，e^(3/2))为凸区间；(e^(3/2)，+∝)为凹区间。
(e^(3/2)，3/(2e^(3/2)))为拐点
lim(x趋于无穷)lnx/x=lim(1/x)=0，则直线y=0为水平渐近线
lim(x趋于0)lnx/x=∝，则直线x=0为垂直渐近线。