Question

一道数列压轴题

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an^2=S(2n-1)（n∈N+），令bn=1/(an*an+1)，Tn为数列{bn}的前n项和. （1）求a1、d和Tn； （2）若对任意的n∈N+，不等式kTn＜n+8*（-1）^n恒成立，求实数k的取值范围； （3）是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.sn=2an-2
n=1时,a1=2a1-2,a1=2
n>1时,an=sn-s(n-1)=2an-2a(n-1),
an=2a(n-1)
∴{an}是首项为2,公比为2的等比数列,an=2^n
bn-b(n+1)+2=0,b(n+1)=bn+2
∴{bn}是首项是1,公差为2的等差数列,bn=1+2(n-1)=2n-1
2.b(n+1)=2n+1=c1/2+c2/2^2+……+cn/2^n
n=1时,3=c1/2,c1=6
n>1时,cn/2^n=b(n+1)-bn=2,cn=2^(n+1)