Question

在三角形ABC中，AD是角A的平分线，求证：AD平方=AB*AC-BD*DC

Answer 1

AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的。

理由如下： 在△ABC中，延长AB到E，使BE＝BD，则AE=AB+BD．

在AC边上取点F，使CF＝CD，则AF=AC－CD．

连结ED，FD．我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．

而在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2；
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2；

故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED；

所以△AED～△ADF，则AE/AD=AD/AF，即 AD^2＝AE×AF＝(AB＋BD)(AC－CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD；

另外，过C作DA的平行线交BA延长线于G点，则有BD/DC=BA/AG，因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG，所以AC=AG。代入比例式得：BD/DC=BA/AC，
即：AB*CD=AC*BD，
所以
AD^2＝AB*AC-BD*CD，即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立。

参考:

作三角形ACE相似于三角形ADB（延长AD至E）
三角形ADB相似于三角形ACE，三角形CDE
由相似得AC/AD=AE/AB AD/CD=BD/ED
所以AB*AC=AD*AE AD*ED=BD*CD
AB*AC=AD*(AD+DE)
=AD^2+AD*DE
=AD^2+BD*CD
故AD^2=AB*AC-BD*DC

Answer 2

在AC上取一点M,使角ADM=角ABC，所以三角形ABD相似于三角形ADM,所以AB/AD=AD/AM,即AD^2=AB*AM,只需证明AB*AM=AB*AC-BD*DC 化简即 AB*MC=BD*DC 由图可知 三角形CMD相似于三角形CDA , 所以CM*CD=CD*AC 再由三角形角平分线定理可知 AB/AC=BD/DC 即CD/AC=AB/BD 所以 CM/CD=AB/BD 所以AB*CM=BD*DC 从而得之结论！ 边看边画图 加油！！

Answer 3

证明：
这是三角形内角平分线定理
可以用正弦定理证明
ab:bd=sin∠adb:sin∠bad
ac:cd=sin∠adc:∠cad
∵∠adb+∠adc=180°，∠bad=∠cad
∴sin∠adb=sin∠adc，sin∠bad=sin∠cad
综上所述，ab:bd=ac:cd
即ab:ac=bd:cd
谢谢
当然，用相似也可以证明，方法不唯一
过d作ac的平行线交ab于e，则
∠eda=∠cad=∠bad
则ea=ed
bd:dc=be:ea=be:de=ba:ac
即ab:ac=bd:dc