Question

线性代数中的正交矩阵4

设向量a=(4 2 2)，b=(2 4 2 )c=(2 2 4)A是由向量a,b,c组成的矩阵，试求一个正交矩阵V，使得V的逆矩阵乘以矩阵A再乘以V是对角矩阵

Answer 1

根据特征方程|λE-A|=0
(E为单位矩阵)，解得矩阵A的特征值分别为:
λ1=8，λ2=λ3=2(二重特征值)
把λ1=8代入特征方程，由(8E-A)x=0,解得对应λ1=8的特征向量为
x1=(1,1,1)^T
(其中^T表示转置)
将x1规范化:ε1=(1/√3)(1,1,1)^T
把λ2=λ3=2代入特征方程，由(2E-A)x=0，解得对应λ2=λ3=2的特征向量为
x2=(-1,1,0)^T,
x3=(-1,0,1)^T
施密特正交化得:α2=x2=(1,-1,0)^T
α3=x3-(＜α2,x3＞/＜α2,α2＞)α2
=(-1/2,-1/2,1)^T
规范化得:ε2=(1/√2)(-1,1,0)^T
,ε3=(1/√6)(-1,-1,2)^T
令V=(ε1,ε2,ε3),则
V(逆)*A*V=∧(对角矩阵)
其中
V=
1/√3
-1/√2
-1/√6
1/√3
1/√2
-1/√6
1/√3
0
2/√6