Question

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+...

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1)． （1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2） （2）设bn=an+1-anan，证明数列{bn}的前n项和Sn＜74 （3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e34（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

证明：（1）①当n=2 时，a2=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2，那么ak+1=(1+1k2+k)ak+12k＞ak≥2．
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：an≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵an+1an=1+1n2+n+12nan，∴bn=an+1-anan=an+1an-1=1n2+n+12nan
当n=1时，b1=a2-a1a1=1，
当n≥2时，an≥2，bn=1n2+n+12nan≤1n2+n+12n+1，
故Sn=b1+b2+…+bn≤1+(12•3+13•4+…+1n(n+1))+(123+124+…+12n+1)
=1+[12-13+13-14+…+1n-1n+1]+14[1-(12)n-1]＜1+12+14=74…（9分）
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n+1)an
∵ln（1+x）＜x，
∴lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n+1)+lnan＜lnan+1n2+n+12n+1，
∴lnan+1-lnan≤1n2+n+12n+1（n≥2）
求和可得lnan-lna2＜12•3+13•4+…+1n(n-1)+123+124+…+12n=12-1n+122-12n＜34
而a2=2，∴lnan+12＜34，∴an＜2e34（n≥2），而a1=1＜2e34
故对任意的正整数n，有an＜2e34．…（14分）