Question

当f（x）‘‘>=0时，要证明a到b上的f（x）上的积分<f（a）+f（b）/2 （b-a）？

为什么我用泰勒公式就不行，用a+b/2这点的展开式，求大佬看一下，我就想知道为什么这里用泰勒不行

Answer 1

这个比较复杂，参考下上述的解法。另外，题目顶多给出原函数只有二阶导数，不一定有三阶导数，所以，你那样直接用泰勒公式不行。但是需要改进，可以用凹凸性的定义入手来做。

Answer 2

第二次泰勒展开的时候，一阶导和三阶导两项前应该是负号

因为(a+b)/2-b=(a-b)/2=-(b-a)/2

Answer 3

可以用图像证明，比较好理解 ，但是表述不太好表述，
当2阶导大于0时，函数图像是凹的，
a到b上的f（x）积分就是f（x）在a到b内与x轴围成的面积，
f（a）＋f（b）/2（b-a）就是
点（a，f（a）），点（b，f（b）），
点（a，0），点（b，0）围成的梯形面积，
因为是凹函数，所以梯形面积大于函数图形在到b内与x轴围成的面积。。

Answer 4

公式错了，f'(x0)(x-x0) + 0.5f''(x0)(x-x0)^2 ....
当x0=b时，(a+b)/2 -x0 = (a-b)/2，不是(b-a)/2