Question

f(x)在【a，b】上连续，f（x）的平方在【a，b】上的积分为0.求证f（x）=0，求详解！！

Answer 1

设存在点x0,f(x0)=c不为0，则(f(x0))^2=c^2>0,
由局部保号性，存在包含x0的区间[a1,b1]，使当x属于[a1,b1]时，(f(x))^2>c^2/2>0
故∫(a,b)(f(x))^2dx》∫(a1,b1)(f(x))^2dx>0,矛盾
所以f（x）=0

Answer 2

由f（x）^2>=0
则有∫ （f（x）^2）>=0 当且仅当f（x）=0时∫ （f（x）^2）=0
所以f（x）=0

追问

为什么f（x）的平方大于等于0能推出积分大于等于0 啊，，刚接触积分，所以有点费解！！

追答

首先要了解积分的几何含义，积分表示曲线和x轴所夹区间的面积，x轴上方为正、下方为负，而f（x）^2始终大于等于0，在x轴上方。所以对其积分也是大于等于0，而且当且仅当f（x）=0时，积分等于0。