Question

平行线的判定和性质

Answer 1

  在一个平面内，两条直线的位置关系有两种：一种是平行，一种是相交，只有这两种可能，因为两条直线可以无限的延伸，如果不平行的话，一直延伸就会相交。所以平行线可以定义为：在同一个平面内，两条永远不相交的直线就叫平行线。平行线的定义有三个特征，一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，缺一不可。根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是由于直线无线延伸检验，它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行。所以上了初中以后我们还要继续研究平行线？我们要用更科学，更严谨的方法去证明它是否平行。

  我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线如图所示

用符号语言表示

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）

如果角一等于角七能得出AB平行于CD吗？

∵∠1＝∠7

  ∠3＝∠1（对顶角相等）

∴∠3＝∠7（等量代换）

∴AB∥CD

  那么接下来我们再看，如何通过角1和角4的位置关系来判定两直线是否平行。如下图：从图中可以看出角1和角4明显的不相等，那么你认为角1和角4满足什么条件？两条直线才能平行呢？那也不难想，如果想让两直线平行，必须角1和角2这对同位角相等，对吧，还是举例说明一下吧。

已知：∠1=60度，∠4=120度

证明直线a是否平行于直线b？如何证明呢？

证明：根据题意

∵∠1=60度，∠4=120度

∴∠1+∠4=180度（互补关系）

从图上我们可以知道∠2+∠4=180度（平角定义）

可以算出来∠2＝180-120=60度。由此我们可以推算出来∠1＝∠2＝60度。

根据定理一：同位角相等两直线平行a//b所以我们可以判定∠1和∠4互补，两直线平行a//b。

平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截同位角相等。如图

符号语言表示：AB∥CD

∠1＝∠2（两直线平行同位角相等）

2.两条平行线被第三条直线所截内错角相等

符号语言：AB∥CD

∴∠4＝∠5（两直线平行内错角相等）

3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补

符号语言：AB∥CD

∠4+∠6=180度（两直线平行同旁内角互补）

  下面我们可以来看一下平行线的判定和性质，有什么区别和联系？

  先看平行线的判定是以角的相等或互补关系为前提，推导两直线平行。是从数的关系到位置关系。

  平行线的性质是以两直线平行为前提，然后推导出角相等或互补，是由位置关系到数的关系。由此可见，判定与性质之间的关系是一种互逆关系。