Question

证明设f:X→Y,g:Y→X,若对任意x属于X,必有g[f(x)]=x,则f是单射,g是满射

Answer 1

映射f:X→Y的定义是：对任意的x属于X,在Y中有唯一的y使得y=f(x).下面通过反证法,假设f不是单射,g不是满射,可以推出与定义矛盾.先来看f,由于f不是单射,所以存在x1,x2属于X,使得虽然x1≠x2,但是有y0=f(x1)=f(x2)属于Y,这样g[f(x1)]=g[f(x2)]=g(y0)=x1=x2,这样Y中的一个元素y0在映射g下的像不是唯一的,与映射的定义矛盾.再来看g,由于g不是满射,所以存在x0属于X,使得x0在映射g下没有原像,即不存在y0属于Y,使得g(y0)=x0=g[f(x0)],也就是不存在y0使得f(x0)=y0,这样X中的一个元素x0在映射f下不存在像,与映射的定义矛盾.这两个矛盾也就说明两个假设都不成立,即f一定是单射,g一定是满射.