Question

切线与导数的关系

Answer 1

切线问题的基础知识

（一）与切线相关的定义

1、切线的定义：在曲线的某点A附近取点B，并使B沿曲线不断接近A。这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A附近的点B向A不断接近，当与A距离非常小时，观察直线AB是否稳定在一个位置上.

（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数

在(-1,-1)处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B不断接近点A包含两个方向，A点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A处的切线。对于一个连续函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y=|x| 在(0,0) 处，通过观察图像可知，当x=0 左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=-x ，而当x=0 右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y=x ，两个不同的方向极限位置不相同，故 y=|x|在(0,0) 处不含切线.

（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若f(x) 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）

3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：

（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置。故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.

（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数。例如前面例子y=|x| 在 (0,0)处不存在导数。此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.

（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在。例如：

在(0,0) 处不可导.

综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数。由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数 。