Question

1/(1+e^x)的积分是多少？

Answer 1

∫1/(1+e^xdx)的积分是x-ln(1+e^x）。

1/(1+e^x)

=(1+e^x-e^x)/(1+e^x)

=1-e^x/(1+e^x)

 ∫1/(1+e^x)dx

＝∫e^(-x)/(1+e^(-x))dx

＝-∫1/(1+e^(-x))d(1+e^(-x))

＝-ln(1+e^(-x))＋C

＝-ln((1+e^x)/e^x)＋C

＝x-ln(1+e^x)＋C 

直接积分法

直接积分法简单的理解就是使用函数导数公式能一两步写出结果的情形。例如：

y=ax，则y‘=a，故而∫adx=ax+C。

y=x^2，则y‘=2x，故而∫2xdx=x^2+C。

y=e^x，则y‘=e^x，故而∫e^xdx=e^x+C。

y=lnx，则y‘=1/x，故而∫dx/x=lnx+C。