Question

解微分方程

dy/dx=x/y+y/x,y|x=1 =2

第二题(x^2+1)dy/dx+2xy=3x^2
第三题d^2y/dx^2-2dy/dx-3y=e^-x急…考试…

Answer 1

希望下面的解对你的期末学习有所帮助。
题一：
dy/dx=x/y+y/x=(x²+y²)/(xy)
方程两边同乘(xy)dx, 得：
xydy=(x²+y²)dx
xydy-y²dx=x²dx
方程两边再同除x³，得：
ydy/x²-y²dx/x³=dx/x
[1/(2x²)]d（y²）+y²d[1/(2x²)]=d(lnx)
d[（y²）/(2x²)]=d(lnx)
（y²）/(2x²)=lnx+c
y²=(2x²)[ln(x)+c]
y=(√2)x√[ln(x)+c]
由于当x=1时，y=2，代入上式得：
2=(√2)√c，解得：
c=2
最后解得：
y=(√2)x√[ln(x)+2]

题二：
(x²+1)dy/dx+2xy=3x²
方程两边同乘dx，得：
(x²+1)dy+2xydx=3x²dx
(x²+1)dy+ydx²=3x²dx
(x²+1)dy+yd（1+x²）=3x²dx
d[（1+x²）y]=3x²dx=d(x³)
（1+x²）y=x³+c
y=(x³+c)/（1+x²）

题三：
d²y/dx²-2dy/dx-3y=e^(-x)
此方程的一个特解是y=-（x/4）e^(-x)=-（x/4）exp(-x)
又D²-2D-3=(D-3)(D+1)=0,得：D=3，D=-1
所以此题的通解为
y=Aexp(3x)+Bexp(-x)-(x/4)exp(-x)

Answer 2

Answer 3

Answer 4

用matlab 求解：
第一题： dsolve('Dy=x/y+y/x','y(1)=2','x')
y=(2*ln(x)+4)^(1/2)*x
第二题： dsolve('(x^2+1)*Dy+2*x*y=3*x^2','x')
y=(x^3+C1)/(x^2+1)
第三题： dsolve('D2y-2*Dy-3*y=exp(-x)')
y=exp(-t)*C2+exp(3*t)*C1-1/3*exp(-x)