Question

求一道物理题的解.要用到二元微分方程的.

Answer 1

设链条总长为L,t时刻垂下部分长度为x
均匀链条,则其各部分的速度与加速度均相同
建立垂下长度x与滑下时间t的函数关系
链条均匀,不妨设其线密度为1,则其质量与长度在数值上相等
整条链条只受垂下部分的重力提供动力,即xg=La
而由加速度定义有a=d²x/dt²=x'',∴有 x''-gx/L=0 (1)
这是二阶常系数齐次微分方程,
其特征方程为r^2-g/L=0,有两根r=±√(g/L)=±k {令k=√(g/L)}
则其微分方程通解为 x(t)=C1e^(-kt)+C2e^(kt) (2)
链条速度方程为 v(t)=dx/dt=-kC1e^(-kt)+kC2e^(kt) (3)
初始条件为t=0,x=1,v=0,代入(2),(3)可解得 C1=C2=1/2
∴微分方程特解为 x(t)=1/2*e^(-kt)+1/2*e^(kt) (4)
速度方程为 v(t)=-k/2*e^(-kt)+k/2*e^(kt) (5)
设u=e^(kt)>0,则链条全部滑离桌面时,x=L=6,代入方程(4)可得
x(t)=6=1/2*(1/u+u),解此一元二次方程,可得u=6±√35
将u=6-√35代入方程(5)验证可知此时v