Question

求弧长为什么就是求定积分

Answer 1

高数弧长ds的三种公式：s=∫ds=∫sqrt((dx)^2+(dy)^2)=∫dx*sqrt(1+(dy/dx)^2)=∫sqrt(1+f'^2(x))dx。
sqrt()是根号，()^2是()的平方。
注：ds与dx，dy是勾股关系：即dx，dy是两个直角边，ds是弧的微分，把此微弧看做直线段故ds=√(dx+dy)；然后将根号里的两项都除以dt，再在根号外乘以dt就等于没乘没除了，公就是这么来的。

弧长公式：l = n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180=α(圆心角弧度数)× r（半径）在半径是R的圆中，因为360°的`圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。

ds=√(dx+dy)。
曲线的弧长也称曲线的长度，是曲线的特征之一。不是所有的曲线都能定义长度，能够定义长度的曲线称为可求长曲线。
最早研究的曲线弧长是圆弧的长度，所以狭义上，特指圆弧的长度。

弧长s=∫根号下[1+y'(x)]dx。弧长公式中下限为a，上限为b，ab为曲线的端点对应的x的值，弧长意思为曲线的长度。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。
曲线积分分为：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分。两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x，y)×ds。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy。

Answer 2

求弧长的几何意义就是把弧线上无限小的每一点通过积分求出来连续部份，这和微积分中的求定积分概念是一样的。所以可以说求弧长就是求定积分。