Question

已知定义域为R的函数f(x)＝2x−b2x+a是奇函数．？

Answer 1

解题思路：（1）根据奇函数定义，利用f（0）=0且f（-1）=-f（1），列出关于a、b的方程组并解之得a=b=1；
（2）根据函数单调性的定义，任取实数x 1、x 2，通过作差因式分解可证出：当x 1＜x 2时，f（x 1）-f（x 2）＜0，即得函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式f（2t 2+kt）+f（k-t 2）＞0转化为： k＞− t 2 t+1 对任意的t∈[0，1]都成立，再设 y＝− t 2 t+1 求出导函数，化简后判断符号，判断出函数在[0，1]上的单调性求出函数的最大值，即得k的取值范围．
（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即[1−b/1+a]=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1），即
2−1−1
2−1+a=-
2 −1
2 +a，解之得a=1，
经检验当a=1且b=1时，f(x)＝
2x−1
2x+1满足f（-x）=-f（x）是奇函数，
（2）由（1）得f(x)＝
2x−1
2x+1，任取实数x1、x2，且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=
2x1−1
2x1+1-
2x2−1
2x2+1=
(2x1−1)(2x2+1)−(2x2−1)(2x1+1)
(2x1+1)(2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)，
∵x1＜x2，可得2x1−2x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为增函数．
∴不等式f（2t2+kt）+f（k-t2）＞0对任意t∈[0，1]恒成立，
即f（2t2+kt）＞-f（k-t2）=f（t2-k），
∴2t2+kt＞t2-k对任意t∈[0，1]都成立．
即t2+kt+k＞0，变量分离得k＞−
t2
t+1对任意t∈[0，1]都成立，
设y＝−
,10,已知定义域为R的函数 f(x)＝ 2 x −b 2 x +a 是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）利用定义判断函数y=f（x）的单调性；
（3）若对任意t∈[0，1]，不等式f（2t 2+kt）+f（k-t 2）＞0恒成立，求实数k的取值范围．