Question

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A及增广矩阵B秩相等R(A)=R(B)=r未知量个数为n,则它有唯一解的充要条件是

Answer 1

唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=r=n，即r=n，唯一秩等于变量的个数。因为矩阵A的秩为r(＜n)，那么系数矩阵A中有r个线性无关的向量。

那么n个未知数就有r个独立的方程能够确定，就剩下了n-r个自由未知数，因此可以张成n维空间态兆，基础解系中就需要有n-r个线性无关的解向量。

扩展资告拆料

基础解系和通解的关系：

1、对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）......等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。

2、A是n阶实对称矩阵，假如r(A)=1.则它的特征值为t1=a11+a22+...+ann,t2=t3=...tn=0；对应于t1的特征向量为b1，t2~tn的分别为b2~bn。

3、此时，Ax=0的解就是k2b2+k3b3+...+knbn；其中ki不全为零。由于:Ax=0Ax=0*B,B为A的特征向量，对应一个特征值的特征向量写成通解的形式是乘上ki并加到一起。这是基袜闭枣础解系和通解的关系。