Question

求所有正整数n使1+2^n+3^n+4^n被5整除?

Answer 1

用同余法: 1+2^n+3^n+4^n ≡ 1+2^n+(-2)^n+(-1)^n (mod 5) 若 n 为奇数
则显然右式为 0. 若 n 为偶数
2k
则右式为 2(1+2^n) = 2(1+4^k) ≡ 2{1+(-1)^k} (mod 5) 当 k 为奇数时右式为 0
偶数时为 4. 故: 若且唯苦 n 为 4 的倍数时 1+2^n+3^n+4^n 不被 5 整除.
当 n 由 1
2
3
... 递增时
可见 1ⁿ 的个位数是 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
... 2ⁿ 的个位数是 2
4
8
6
2
4
8
6
2
4
... (四次一循环) 3ⁿ 的个位数是 3
9
7
1
3
9
7
1
3
9
... (四次一循环) 4ⁿ 的个位数是 4
6
4
6
4
6
4
6
4
6
... (两次一循环) 由于 LCM(1
4
4
2) = 4
因此 1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的个位数是四次一循环。 当 n = 4k + 1 (k 为非负整数)， 　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的个位数是 1 + 2 + 3 + 4 = 10 的个位数，即 0； 当 n = 4k + 2 (k 为非负整数)， 　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的个位数是 1 + 4 + 9 + 6 = 20 的个位数，即 0； 当 n = 4k + 3 (k 为非负整数)， 　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的个位数是 3 + 9 + 7 + 1 = 20 的个位数，即 0； 当 n = 4k (k 为非负整数)， 　1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 的个位数是 1 + 6 + 1 + 6 = 14 的个位数，即 4。 即是，只要 n 不是 4 的倍数，1 + 2ⁿ + 3ⁿ + 4ⁿ 都会被 5 整除（因为个位数是 0）。
1
2
3
5
6
7
9
10
11

(4的倍数不行
其他都可以)