Question

设f(x)在[a，b]上连续，且f(a)＜a，f(b)＞B.试证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(ξ)=ξ

Answer 1

【答案】：[证] 将问题转化成可以利用闭区间上连续函数性质的形式．为此，引入辅助函数F(x)=f(x)-x，则F(x)在[a，b]上连续，且F(a)=f(a)-a＜0，F(b)=f(b)-b＞0．由零点定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F(ξ)=0，即f(ξ)-ξ=0或f(ξ)=ξ.