Question

设函数f(x)在[a，b]上连续，且a＜c＜d＜b，证明存在一个ξ∈(a，b)，使得：f(c)＋f(d)=2f(ξ)．

A.

Answer 1

【答案】：解：
函数f(x)上的一点A(§,f(§))的切线斜率为f'(§),
过A点作x轴的垂线交于x轴于B点(§,0),切线交x轴于C点,
在Rt△ABC中,BC=AB/(tan(180-α）=-AB/tan(α)=-f(§)/f'(§),
因为函数在 （a,b)内连续,因此必然存在BC=1,
此时-f(§)/f'(§)=1,f(§)+f'(§)=0.