Question

勾股定理的500种证明方法

Answer 1

勾股定理的证明方法如下：

1、证法一。

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C三点共线，C、G、D三点共线。

∵Rt△HAE≌Rt△EBF

∴∠AHE=∠BEF

∵∠AHE+∠AEH=90°

∴∠BEF+∠AEH=90°

∵A、E、B共线

∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形。

由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形。

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积。

∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2。

2、证法二。
如下图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。

3、证法三。

以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形。

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2，整理得a^2+b^2=c^2。

4、证法四。

如下图所示。易得△CDE为等腰直角三角形

∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积。

∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2。