Question

2011高考数学模拟题：函数的单调性

Answer 1

课时训练9 函数的单调性
【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）
A.y=-x+1 B.y=
C.y=x2-4x+5 D.y=
答案：B
解析：A、C、D函数在（0，2）均为减函数.
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）
A.f(2a)<f(a) b.f(a2)<f(a) C.f(a2+a)<f(a) d.f(a2+1)<f(a) 答案：D
解析：∵a2+1-a=(a- )2+ >0，∴a2+1>a.又f(x)在R上递减，故f(a2+1)<f(a).
或者令a=0,排除A、B、C,选D.
3.函数y=(2k+1)x+b在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）
A.k> B.k C.k>- D.k<-
答案：D
解析：2k+1<0 k<- .
4.函数f(x)= 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ）
A.0<a< b.a
C.a> D.a>-2
答案：C
解析：∵f(x)=a+ 在(-2,+∞)递增，∴1-2a .
5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，则F（x）是R上的（ ）
A.增函数 B.减函数
C.先减后增的函数 D.先增后减的函数
答案：B
解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数，选B.
6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且f(x)在［0，+∞）上是减函数，则下列关系式中正确的是（ ）
A.f(5)>f(-5) B.f(4)>f(3) C.f(-2)>f(2) D.f(-8)<f(8)
答案：C
解析：∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2) 0,即f(-2)>f(2).
7.(2010全国大联考，5)下列函数：（1）y=x2;(2)y= ;(3)y=2x;(4)y=log2x.其中不是偶函数且在区间（0，+∞）上也不是减函数的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：D
解析：（1）是偶函数，（2）（3）（4）都不是偶函数且在（0，+∞）上递增，故满足条件.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.函数y= 的递减区间是__________________.
答案：［2，+∞］
解析：y=( )t单调递减，t=x2-4x+5在［2，+∞)上递增，∴递减区间为［2，+∞).
9.若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________.
答案：（2， ）
解析：
10.已知函数f(x)满足：对任意实数x1,x2,当x1 f(x2),且f(x1+x2)=f(x1)f(x2),则f(x)=_____________(请写出一个满足这些条件的函数即可).
答案：ax(0<a<1)
解析：f(x)在R上递减，f(x1+x2)=f(x1)•f(x2)的函数模型为f(x)=ax.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.设函数f(x)=x+ (a>0).
(1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；
（2）若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a的取值范围.
解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［ ,+∞］，减区间为（0， ）.
证明：∵f′(x)=1- ,当x∈［ ,+∞］时，
∴f′(x)>0,当x∈（0， ）时，f′(x)<0.
即f(x)在［ +∞］上单调递增，在（0， ）上单调递减.（或者用定义证）
（2）［a-2,+∞］为［ ，+∞］的子区间，所以a-2≥ a- -2≥0 ( +1)( -2)≥0 -2≥0 a≥4.
12.(2010湖北黄冈中学模拟，19)已知定义域为［0，1］的函数f(x)同时满足：
①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,
则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值；
（2）求f(x)的值.
解析：(1)对于条件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0.
(2)设0≤x1<x2≤1,则x2-x1∈(0,1)，
∴f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0.
即f(x2)≥f(x1),故f(x)在［0，1］上是单调递增，从而f(x)的值是f(1)=1.
13.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论.
解析：设b≤x1<x2≤a,则
-b≥-x1>-x2≥-a.
∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴0<f(-b)≤f(-x1)<f(-x2)≤f(-a),∵f(x)是奇函数,∴0<-f(x1)<-f(x2)，
则f(x2)<f(x1)<0,［f(x1)］2<［f(x2)］2,即f(x1)<f(x2).
∴F(x)在［b,a］上为增函数.
14.已知函数f(x)=( -1)2+( -1)2的定义域为［m,n)且1≤m<n≤2.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
（2）证明：对任意x1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.
（1）解析：解法一：∵f(x)=( -1)2+( -1)2= +2,
∴f′(x)= •(x4-m2n2-mx3+m2nx)= (x2-mx+mn)(x+ )
(x- ).
∵1≤m≤x 0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+ >0.
令f′(x)=0,得x= ，
①当x∈［m, ］时，f′(x)<0;
②当x∈［ ，n］时，f′(x)>0.
∴f(x)在［m, ］内为减函数，在［ ，n）为内增函数.
解法二：由题设可得
f(x)=（ -1）2- +1.
令t= .
∵1≤m<n≤2,且x∈［m,n］,
∴t= ≥2, >2.
令t′= =0,得x= .
当x∈［m, ］,t′0.∴t= 在［m, ］内是减函数，在［ ，n］内是增函数.∵函数y=(t-1)2- +1在［1，+∞］上是增函数，∴函数f(x)在［m, ］内是减函数，在［ ，n］内是增函数.
（2）证明：由（1）可知，f(x)在［m,n］上的最小值为f( )=2( -1)2,值为f(m)=( -1)2.
对任意x1、x2∈［m,n］,|f(x1)-f(x2)|≤( -1)2-2( -1)2=( )2-4• +4 -1.令u= ,h(u)=u4-4u2+4u-1.
∵1≤m<n≤2,∴1< )="" )(u+="" .∵h′(u)="4u3-8u+4=4(u-1)(u-" ≤2,即1 0,
∴h(u)在(1, )上是增函数.∴h(u)≤h( )=4-8+4 -1=4 -5<1.
∴不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立.