Question

空间曲线方程的切线方程

如果空间曲线是以方程组的形式给出的，例如:
曲线的方程为
x^2 + y^2 + z^2 = 6
x + y + z = 0
求在点(1,-2,1)处的切线方程。

按照同济大学《高等数学（下册）》上的解法，

令F(x,y,z)= x^2 + y^2 + z^2 - 6
G(x,y,z)= x + y + z

通过公式
x-x0 y-y0 z-z0
——— = ——— = ———
|Fy Fz| |Fz Fx| |Fx Fy|
|Gy Gz|0 |Gz Gx|0 |Gx Gy|0
可以直接解出切线方程。
其中x0,y0,z0代表条件中定点的坐标，Fx Fy Fz Gx Gy Gz应该代表的是求偏导数然后将定点坐标代入。那么我按照这个方法，先求偏导

Fx=2x Fy=2y Fz=2z
Gx=1 Gy=1 Gz=1

则应该解得:
x-x0 y-y0 z-z0
——— = ——— = ———
|2y 2z| |2z 2x| |2x 2y|
| 1 1|0 | 1 1|0 | 1 1|0

把定点的坐标带进去就是：
x-1 y+2 z-1
——— = ——— = ———
|-4 2| | 2 2| | 2 -4|
| 1 1| | 1 1| | 1 1|

根据2阶行列式的对角线计算法则a11*a22-a12*a21
|-4 2|
| 1 1| = -4*1 - 2*1 = -6

| 2 2|
| 1 1| = 2*1 - 2*1 = 0

| 2 -4|
| 1 1| = 2*1 - (-4)*1 = 6

所以我计算的结果为:

x-1 y+2 z-1
——— = ——— = ———
-6 0 6

但是正确答案却是：

x-1 y+2 z-1
——— = ——— = ———
1 0 -1

请求数学高手告诉我到底错在哪里了。。。。。。想了很久都没想通。。
如果是同乘-6.那么不就应该是变成了下面的样子吗？还是和答案不一样呀。。。
x-1 -6y-12 z-1
—— = —— = ——
1 0 -1

最主要的是，我知道切向量T是等于三个分母的值的。如果按照我的原始计算结果，T=(-6,0,6);
可是答案的结果T=(1,0,-1)；
我觉得这两个向量的方向都是反的，模也不一样大。。。。。这个怎么解释呢？

Answer 1

都是对的，三式同乘以6即可得参考答案
两个答案是等价的~~

Answer 2

呵呵，你没错，你看将结果：
x-1 y+2 z-1
——— = ——— = ——— 左中右三边同时乘以-6，可得
-6 0 6

正确答案：

x-1 y+2 z-1
——— = ——— = ———
1 0 -1

中间那项在形式上无意义，不受影响~~~~

Answer 3

空间曲线方程的切线方程
求导呗

Answer 4

先求导数f(x)',在f(x)'乘于（x-xo）=y-yo,