Question

在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1-1/4an,bn=2/(2an-1),其中n∈N*

(1)求证:数列{bn}是等差数列
(2)求证：在数列{an}中，对于任意的n∈N*都有a(n+1)<an
(3)设cn=(√2)^bn,试问数列{cn}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项;如果不存在，请说明理由

Answer 1

第一小题：
bn=2/(2an-1)中可以得到有，an=1/bn+1/2 (1)
然后将（1）代入a(n+1)=1-1/4an，可以有
1/b(n+1)+1/2=1-1/(4/bn+2)
通分可以有[2+b(n+1)]/[2b(n+1)]=(4+bn)/(4+2bn) (2)
对（2）对角相乘再化简可以有b（n+1）-bn=2 （3）
从（3）可以知道bn是一个首项目b1=2，公差为2的等差数列，即有bn=2n
第二小题：
an=1/bn+1/2=1/(2n)+1/2,则a（n+1）-an=1/(2n+2)-1/(2n)在n∈N*时候永远小于0，即a(n+1)<an
第三小题：
假设存在，而且是ca=(√2)^ba，cb=(√2)^bb，cc=(√2)^bc，这样的话就有
2cb=ca+cc，也就是说2(√2)^（2b）=(√2)^（2a）+(√2)^（2c）
也就是2*2^b=2^a+2^c (假设c比a大)，则有2^(b+1)=2^a*[1+2^(c-a)] (4)
要使得（4）右边也为2的次方的话，则必须有1+2^(c-a)] 为2的次方，则c-a必须为0，即c=a，则不可能。也就是说不存在三项满足等差数列。