Question

在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1-1/4an,bn=1/2an-1,其中n∈N*

求证：bn是等差数列，并求an的通项公式
设Cn=2an/（n+1),
数列{CnC（n+2）}的前n项和为Tn，是否存在正整数，使Tn<1/（CmC（m+1））对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由

Answer 1

bn 的表达式就是我们入手的契机

1/2*(2a(n+1)-1) = a(n+1) -1/2 = 1/2-1/4an = (2an-1)/4an
分子分母颠倒 2/(2a(n+1)-1) =[ (4an-2)+2]/(2an-1) = 2+2/(2an-1)
也就是说 b(n+1) = 1+bn
bn 是以 1为首项，1为公差的等差数列

1/(2an-1) = bn = n ；所以 an =(n+1)/2n

Cn=2an/（n+1) = 1/n
设数列 en = CnC(n+2) = 1/n(n+2) = 1/2 * (1/n-1/(n+2)) 前 n项和为Tn

n=2k 时 Tn = 1/2 * ( 1/1-1/3 + 1/2-1/4 +1/3 -1/5 +...+1/2k - 1/(2k+2))
=1/2* [ (1-1/3+1/3-1/5+.....+1/(2k-1)-1/(2k+1)) + (1/2-1/4+1/4....+1/2k-1/(2k+2))]
= 1/2* [ 3/2 - 1/(2k+1)-1/(2k+2)] 这是递增的
T2k <3/4

n=2k+1 时 Tn = 1/2 * ( 1/1-1/3 + 1/2-1/4 +1/3 -1/5 +...+1/2k - 1/(2k+2)+1/(2k+1)-1/(2k+3))
=1/2* [(1-1/3+1/3-1/5+.....+1/(2k-1)-1/(2k+1)+1/(2k+1)-1/(2k+3))+(1/2-1/4+1/4....+1/2k-1/(2k+2))]
= 3/4 -1/(2k+3) - 1/(2k+2) 递增， 上界为3/4

也就是说 1/CmC（m+1) = m(m+1) >3/4 要恒成立
所以 m最小值 =1