Question

已知1<=a+b<=5,-1<=a-b<3,求3a-2b的取值范围

已知1<=a+b<=5,-1<=a-b<3,求3a-2b的取值范围
解法一：
(1/2)<=(1/2)(a+b)<=(5/2)
(-5/2)<=(5/2)(a-b)<(15/2)
-2<=(1/2)(a+b)+(5/2)(a-b)<10
即-2<=3a-2b<10

解法二：
因为：-3<a-b<=1；1<=a+b<=5
所以：0<=2a<=8，得0<=a<=4
-2<2b<=6，得-1<b<=3
0<=3a<=12
-6<-2b<=2
所以：-6<=3a-2b<14

解法二错了；
但怎么会造成错的？都是依据用“充分条件的”不等式定理做的题，为啥解法2会扩大范围呢？
怎么样能够防止做错这种题？
谢谢指点；
写错了

解法二：
因为：-1<=a-b<3；1<=a+b<=5

所以：0<=2a<=8，得0<=a<=4
-2<2b<=6，得-1<b<=3
0<=3a<=12
-6<-2b<=2
所以：-6<=3a-2b<14

Answer 1

你自己也说了，充分条件
充分但是不必要，

比如：X>4
那么X>0显然也成立，但是X>0却不一定满足X>4。
也就是说X>4是X>0的充分但不必要条件。
X>0是X>4的必要但不充分条件。

你比较两种方法，一解明显包含在二解中，也就是二角的范围更大，这个解肯定成立，但是没有必要，解的范围扩大了。

实际上
1<=a+b<=5,-1<=a-b<3，
含有一个隐含的约束关系，就是A取定了之后B的范围会缩小，
比方说A取0，那么解得B的范围为1。它不能在其解范围-1到3上任意取。
而你第二种解法，是排除了这种约束关系。把A、B看成是独立取值的了。

这在高等数学里实际上是一个二元函数取值的问题。

Answer 2

解法2中
由得0<=2a<=8，得0<=a<=4
-2<2b<=6，得-1<b<=3已经出错

应该是1<=a-b<3；1<=a+b<=5
得到 1-b≤a≤3-b
同理 1-a≤b≤5-a

Answer 3

解法2分别计算了a的取值范围和b的取值范围，忽视了当a与b之间的关系，如当a取最大值4的时候，b不能取其最大值3。做这种题，必须将已知取值范围的多项式看做一个整体来考虑，否则就会扩大范围

Answer 4

0<=2a<=8 这步错了