Question

一题关于高中数学排列组合的题目，麻烦懂的人士解一下

有8块竖立的广告牌，牌的底色可以使用红色和蓝色两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不同时为红色，则不同的配色方案有多少种。

Answer 1

以红色的数量讨论：
1）没有红色：1种
2）有1个红色：8种
3）有2个红色：（插空法：6个蓝色有7个空挡，即用两个红色插7个空挡）=7C2=21种
4）有3个红色：同上方法，即为用3个红插6个空挡=6C3=20种
5）有4个红色：同上方法，即为用4个红插5个空挡=5C4=5种
不可能有4个以上红色
综上有55种

Answer 2

设n块广告牌配色方案有an种,其中最后一块为蓝色有bn种，最后一块为红色有cn种，则an=bn+cn
设n+1块广告牌配色方案有an+1种
an+1=bn+1+cn+1
不管n块时最后一块为什么颜色，n+1块都可为蓝色
所以bn+1=cn+ bn
n+1块都可为红色，第n块必为蓝色
所以cn+1= bn
bn+1=cn+ bn= bn+ bn-1
b1=1, c1=1, a1=2
b2=b1+c1=2，c2= b1=1 a2=3
b3=b2+c2=3，c3= b2=2 a3=5
b4=b3+c3=5，c4= b3=3 a4=8
b5=b4+c4=8，c5= b4=5 a5=13
b6=b5+c5=13，c6= b5=8 a6=21
b7=b6+c6=21，c7= b6=13 a7=34
b8=b7+c7=34，c8= b7=21 a6=55

以下方法还可以求得通解
设bn+1+x bn=y(bn+ x bn-1)
有y-x=1，xy=1(解出x和y)
bn+1+x bn=yn(b2+ x b1)(b1=1,c1=1,b2=b1+c1=2)
最后可求得bn的通项，而得出an的通项公式

Answer 3

可知这8块广告牌最多只能4块是红色的才能保证相邻两块的底色不都为红色.

如果只有一块为红色的,为C(8,1)=8种方法
如果有两块为红色的,
用隔板法
将6块兰色的排好,然后将有7个空,从中选两个空将2块广告牌放入.即C(7,2)=21种

如果有三块为红色的,则C(6,3)=20种

如果有四块为红色的,则C(5,4)=5种

再加上一种全为蓝色的.
所以方案共:8+21+20+5+1=55种

Answer 4

最多有4块红色的，以下分类：
没有红色时：仅1种
1块红色时：把红色的插在蓝色的空挡里，共8种
2…………：………………………………，7*6/2=21
3…………：………………………………，6*5*4/3*2=20
4…………：………………………………，5*4*3*2/4*3*2=5
综上，一共55种