Question

求解答高数极限证明问题，如图

如图，高数极限的证明，如图画圈的部分，为什么有的等式需要和n分之一对比，有的却需要和n分之a的平方对比呢？这两道题应该怎样套函数极限定义的公式呢？我一直没明白的是，为什么任意yita >0,N=【yita分之一】呢？

Answer 1

用定义证明极限没有一般方法，只能往定义上凑，用试探法，观察法，等等把N求出来，因为对任给的ε，只要能找到N满足极限定义定义就证明函数的极限是所给值。
和1/n或a²/n比正是为了凑出N与ε的关系，这样就可以用ε表示N，也就是求出了N。
任意ε>0，N=[1/ε]，这样的ε和N正好满足极限定义：

对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数N，使得当n满足不等式n>N时，对应的函数值f(n)都满足不等式：|f(n)-A|<ε，那么函数f(n)当n→+∞时的极限是A。

这里A=1，当n>N=[1/ε]时，有：|f(n)-1|<ε，则f(n)的极限是1

Answer 2

你要先清楚函数极限的定义：
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
也就是说，需要将|f(x)-A|利用不等式的变换后，使它的值小于ε，这就需要你取的那个数N能恰好导出这个结果。（这就看你的数学感觉了）
另外lz，ε念epsilon(艾普斯隆)，而你说的yita是η。

Answer 3

这种证明过程省去了分析的过程，看起来有点不大好理解，可以化成另外一种分析式的证明，后面会给出。
首先，你要了解数列极限的定义的关键点是“存在正整数N”，它的作用就是保证n＞N时，|Xn-a|小于任意小的正数ε。那么这个N是怎样得到的呢？我们的一般思路是从结论|Xn-a|＜ε推导，想方设法得到n的取值范围n＞N(ε)，N(ε)是一个和ε有关的式子，那么我们只要选择正整数N＞N(ε)即可，或者取N是N(ε)的整数部分，即N＝[N(ε)]。
其次，由|Xn-a|＜ε直接推导出n＞N(ε)在有些时候是不可行的，或者给出的式子太复杂，那么我们可以考虑把|Xn-a|适当放大为一个和n有关的式子f(n)，由f(n)＜ε来求n的范围。很自然的，如果f(n)是一个常数A除以n或n的幂次n^k的形式A/n，A/n^k的时候，n的取值范围就变成一个很简单的事情了。

接下来给出本题的一个证明过程：
因为Xn＝√(n^2+a^2)/n＝√(1＋a^2/n^2)＜1＋|a|/n，所以，|Xn-a|＝√(n^2+a^2)/n－1＜|a|/n
所以，对于任意小的正数ε，要使得|Xn-a|＜ε，只要|a|/n＜ε，即n＞|a|/ε即可。
取正整数N＝[|a|/ε]，当n＞N时，|Xn-a|＜ε。
所以，lim √(n^2+a^2)/n ＝ 1