Question

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，EF分别是AC，AD上的动点，且AE/AC=A

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，EF分别是AC，AD上的动点，且AE/AC=AF/AD=入（入属于0到1）。1求，不论入为何值，总有平面BEF⊥平面ABC 2，当入为何值时，平面BEF⊥平面ACD

Answer 1

1、在三角形ACD中，

∵AE/AC=AF/AD=λ，

∴EF//CD，

而〈BCD=90度，

即CD⊥BC，

∴EF⊥BC，

∵AB⊥平面BCD，CD∈平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵AB∩BC=B，

∴CD⊥平面ABC，

∵BE∈平面ABC，

∴CD⊥BE，

∵EF//CD，

∴EF⊥BE，

∵BE∩BC=B，

∴EF⊥平面ABC，

∵EF∈平面EFB，

∴平面BEF⊥平面ABC  。

2、在平面ABC上，作BE⊥AC，在平面ACD上作EF//CD，

由上所述，EF⊥平面ABC，BE∈平面ABC，

BE⊥EF，

AC∩EF=E，

BE⊥平面ACD，

BE∈平面BEF，

平面BEF⊥平面ACD ，

BC=CD=1，

〈BCD=90度，

BD=√2，

〈ABD=90度，

tan<ADB=AB/BD,

AB=√6,

AD=2BD=2√2,

△ABC是RT△，

根据勾股定理，

AC=√7,

BE*AC/1=AB*BC/2=S△ABC，

BE=√42/7，

根据直角三角形射影定理，（直角边是其射影和斜边的比例中项），

AB^2=AE*AC,

AE=6√7/7,

λ=AE/AC=（6√7/7）/√7

=6/7，

即当λ=6/7时平面BEF⊥平面ACD 。

Answer 2

1、在三角形ACD中，
∵AE/AC=AF/AD=λ，
∴EF//CD，
而〈BCD=90度，
即CD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵AB⊥平面BCD，CD∈平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
∵BE∈平面ABC，
∴CD⊥BE，
∵EF//CD，
∴EF⊥BE，
∵BE∩BC=B，
∴EF⊥平面ABC，
∵EF∈平面EFB，
∴平面BEF⊥平面ABC 。
2、在平面ABC上，作BE⊥AC，在平面ACD上作EF//CD，
由上所述，EF⊥平面ABC，BE∈平面ABC，
BE⊥EF，
AC∩EF=E，
BE⊥平面ACD，
BE∈平面BEF，
平面BEF⊥平面ACD ，
BC=CD=1，
〈BCD=90度，
BD=√2，
〈ABD=90度，
tan<ADB=AB/BD,
AB=√6,
AD=2BD=2√2,
△ABC是RT△，
根据勾股定理，
AC=√7,
BE*AC/1=AB*BC/2=S△ABC，
BE=√42/7，
根据直角三角形射影定理，（直角边是其射影和斜边的比例中项），
AB^2=AE*AC,
AE=6√7/7,
λ=AE/AC=（6√7/7）/√7
=6/7，
即当λ=6/7时平面BEF⊥平面ACD 。