Question

关于曲面积分

计算曲面积分∫∫(y^2+2z)dydz+(3z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy，其中积分区域为锥面z=√x^2+y^2介于0<=z<=2的外侧
希望有过程，谢谢

Answer 1

如果直接用坐标曲线积分去做会很麻烦。由于锥面（∑）上的点都在所求函数定义域内，所以考虑用高斯公式：
令P=y^2+2z Q=3z^2-x R=x^2-y
补充一个平面z=2 设为∑1 取其上侧
则所求可化为在 ∑和∑1上的积分
（∑+∑1）∫∫(y^2+2z)dydz+(3z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy -（∑1）(y^2+2z)dydz+(3z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
分别对P求X偏导，对Q求Y偏导，对R求Z偏导，用高斯公式化为三重积分
得：∫∫∫（0+0+0）dxdydz-（∑1）∫∫(y^2+2z)dydz+(3z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
=0-（∑1）∫∫(y^2+2z)dydz+(3z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
=-[0+0+∫∫(x^2-y)dxdy] (积分区域为：x^2+y^2=9)此步用极坐标

= -∫(0~2∏)dθ∫(0~3)ρdρ
= -9∏
我做的结果可能不对，但是意思应该是对的。用高斯公式化简问题是一种很重要的方法。

Answer 2

用高斯公式