Question

关于曲面积分的问题。

计算曲面积分∫∫（y-z)x^2dzdx+(x+y)dxdy,其中∑是柱面x^2+y^2=1介于平面z=0及z=2之间部分的外侧。

Answer 1

取Σ：x² + y² = 1、外侧
补上平面Σ1：z = 2、上侧
补上平面Σ2：z = 0、下侧
∫∫(Σ+Σ1+Σ2) (y - z)x² dzdx + (x + y)dxdy
= ∫∫∫Ω (0 + x² + 0) dxdydz
= (1/2)∫∫∫Ω (x² + y²) dxdydz
= (1/2)∫(0→2π) ∫(0→1) ∫(0→2) r³ dzdrdθ
= (1/2)(2π)∫(0→1) r³ * 2 dr
= 2π * 1⁴/4
= π/2
∫∫Σ1 (y - z)x² dzdx + (x + y)dxdy
= ∫∫Σ1 (x + y) dxdy
= ∫∫D (x + y) dxdy
= 0
∫∫Σ2 (y - z)x² dzdx + (x + y)dxdy
= ∫∫Σ2 (x + y) dxdy
= - ∫∫D (x + y) dxdy
= 0
综合得∫∫Σ (y - z)x² dzdx + (x + y)dxdy = π/2