Question

已知椭圆C的方程为x2/a2+y2/b2=1，的离心率为二分之根号二，且经过点M（-2，0），设直

线l为y=kx+m，与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），连接MB，MA并延长交直线x=4于P，Q，设yp，yq分别为P，Q的纵坐标，且1/y1+1/y2=1/yp+1/yq

，求证l过一个定点

Answer 1

∵椭圆过点（1，√2/2），　∴1/a^2+（1/2）/b^2=1，　∴2b^2+a^2=2a^2b^2．

∵e=c/a=√2/2，　∴√（a^2-b^2）/a=√2/2，　∴（a^2-b^2）/a^2=1/2，
∴2a^2-2b^2=a^2，　∴a^2=2b^2．

联立：2b^2+a^2=2a^2b^2、a^2=2b^2，消去a，得：2b^2+2b^2=4b^4，　∴b^2=1．
将b^2=1代入a^2=2b^2中，得：a^2=2．
令AB的中点为D．
改写直线方程，得：y=x+M．
∵A、B都在直线y=x+M上，　∴可令A、B的坐标分别是（m，m+M）、（n，n+M）．
联立：x^2/2+y^2=1、x-y+M=0，消去y，得：x^2/2+（x+M）^2=1，
x^2+2x^2+4Mx+2M^2-2=0，　∴3x^2+4Mx+2M^2-2=0．　显然，m、n是该方程的根，
∴由韦达定理，有：m+n=4M/3．

由中点坐标公式，容易得出：AB的中点坐标为D（2M/3，5M/3）．
∵D不在圆x^2+y^2=5/9内，　∴OD≧√5/3，　∴√[（2M/3）^2+（5M/3）^2]≧√5/3，
∴√29|M|≧√5，　∴|M|≧√5/√29=√145/29，　∴M≤-√145/29，　或M≧√145/29．

∴满足条件的M的取值范围是（-∞，-√145/29）∪（√145/29，+∞）．
∴满足条件的椭圆方程为x^2/2+y^2=1．