Question

已知抛物线经过点A(-3,0)B(1,0)C(0,3)(1)求抛物线的解析式（2）

已知抛物线经过点A(-3,0)B(1,0)C(0,3)(1)求抛物线的解析式（2）求该抛物线顶点Q的坐标，且判断ACQ的形状，并请说明理由（3）在抛物线的对称轴左边图象上，是否存在一点P，使得以P,A,B,C四个点为顶点的四边形是梯形。若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

1、
设抛物线为y=ax²+bx+c
三点代入得
0=9a-3b+c
0=a+b+c
3=c
解得a=-1，b=-2
所以抛物线方程为y=-x²-2x+3
2、
y=-x²-2x+3
=-(x²+2x)+3
=-(x+1)²+4
顶点Q坐标（-1，4）
AC²=(-3-0)²+(0-3)²=18
AQ²=(-3+1)²+(0-4)²=20
CQ²=(0+1)²+(3-4)²=2
因AC²+CQ²=AQ²
所以三角形ACQ为直角三角形
3、
假设存在，坐标P为（x,y)
则PQ//AC
(y-4)/(x+1)=(3-0)/(0-(-3))=1
即y-4=x+1，y=x+5
代入抛物线y=-x²-2x+3得
x+5=-x²-2x+3
x²+3x+2=0
(x+1)(x+2)=0
解得x=-1(不合），x=-2
代入得y=3
所以存在P点，P点坐标为（-2，3）

追问

则PQ//AC(y-4)/(x+1)=(3-0)/(0-(-3))=1
不理解，请高手详解

追答

因为梯形，只能PQ//AC
二直线平行，斜率相等
PQ斜率：(y-4)/(x+1)
AC斜率：（3-0)/(0-(-3))=1
所以(y-4)/(x+1)=1