如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段B
如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，...
如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．（3）点P是x轴上方抛物线上一点，Q是x轴上一动点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形为等腰梯形，则P的坐标是多少？请直接写出答案．
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设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c
∵抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴
解得
抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
（2）如图．
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB，
=
MN×（OD+DB）
=
MN?OB
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∵BD=3-m，
∴MN=-m2+2m+3-（3-m）=-m2+3m，
∴S△BNC=
（-m2+3m）×3=-
（m-
）2+
（0＜m＜3），
∴当m=
时，△BNC的面积最大，最大值为
．
（3）①如图2，当CA=PQ，CP∥AB时，点Q与点B重合
∵抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
∴对称轴x=1
∵C（0，3），
∴P点的坐标为（2，3），
②如图3，作GH⊥AC且平分AC，交AC于点H．连接CG交抛物线于点P．过点P作PQ∥AC的得的四边形为等腰梯形．
∵A（-1，0）、C（0，3），
∴AC=
，
∴AH=
，
∵tan∠CAO=3，
∴HG=
，
∴AG=
=5，
∴G（4，0），
∵点C（0，3）
设直线CH的解析式为y=kx+b，
∴
解得，
∴直线GH的解析式为y=-
x+3，
与抛物线解析式y=-x2+2x+3组成方程组得，
解得，
∵抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴
|
解得
|
抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
（2）如图．
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB，
=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∵BD=3-m，
∴MN=-m2+2m+3-（3-m）=-m2+3m，
∴S△BNC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 27 |
| 8 |
∴当m=
| 3 |
| 2 |
| 27 |
| 8 |
（3）①如图2，当CA=PQ，CP∥AB时，点Q与点B重合
∵抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，
∴对称轴x=1
∵C（0，3），
∴P点的坐标为（2，3），
②如图3，作GH⊥AC且平分AC，交AC于点H．连接CG交抛物线于点P．过点P作PQ∥AC的得的四边形为等腰梯形．
∵A（-1，0）、C（0，3），
∴AC=
| 10 |
∴AH=
| ||
| 2 |
∵tan∠CAO=3，
∴HG=
3
| ||
| 2 |
∴AG=
(
|
∴G（4，0），
∵点C（0，3）
设直线CH的解析式为y=kx+b，
∴
|
|
∴直线GH的解析式为y=-
| 3 |
| 4 |
与抛物线解析式y=-x2+2x+3组成方程组得，
|
解得，
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