Question

哪些矩阵不存在逆矩阵

Answer 1

题：哪些矩阵不存在逆矩阵
解：
首先，讲一下逆矩阵的概念。
常规情况下，针对方阵而言，AB=E，此时AB互为逆矩阵，并且可推得BA=E，这里E为单位阵(幺阵）。
另外，还有几种广义逆(generalized inverse，也称伪逆Pseudoinverse)，对于非方阵常常也存在广义逆。广义逆的定义有很多种，如Moore-Penrose(穆尔-彭罗斯)广义逆，德雷津广义逆矩阵等，分别对应于不同的应用，但是对于可逆方阵，它们都变成了常规的逆矩阵，即它们都是常规的逆矩阵概念的推广。

下面只讨论常规意义下方阵的逆矩阵。
下面的几个说法是等价的：
矩阵A不存在逆矩阵，即是说A为不可逆矩阵，或说A是不可逆的。
矩阵A的行列式为0，写作|A|=0或det(A)=0，此时也说A为奇异矩阵，或说A是奇异的。
n阶矩阵A[:n]的秩<n，或称A为非满秩矩阵，或称降秩矩阵，或说A是非满秩的。
矩阵A为退化矩阵。在研究二次型时常用此概念。

外一则：
广义逆；
非方阵的行列式概念，我在分析之中；
非方阵的行满秩与列满秩；
　　注：百度网友电灯剑客认为，退化这一概念要看情况，不是通用术语，建议不要不加说明地直接使用。例如，
对于方阵而言，det(A)=0可以看作退化；但在讨论二次曲面分类的时候f(x,y,z,1)=x^2+y^2-1通常认为非退化（虽然相应的表示矩阵是奇异的）；
甚至于可以定义可对角化矩阵是非退化的。
或者定义没有重特征值的矩阵是非退化的。

Answer 2

题:哪些矩阵不存在逆矩阵
解:
首先，讲一下逆矩阵的概念。
常规情况下，针对方阵而言，AB=E，此时AB互为逆矩阵，并且可推得BA=E，这里E为单位阵(幺阵)。
另外，还有几种广义逆(generalized
inverse，也称伪逆Pseudoinverse)，对于非方阵常常也存在广义逆。广义逆的定义有很多种，如Moore-Penrose(穆尔-彭罗斯)广义逆，德雷津广义逆矩阵等，分别对应于不同的应用，但是对于可逆方阵，它们都变成了常规的逆矩阵，即它们都是常规的逆矩阵概念的推广。
下面只讨论常规意义下方阵的逆矩阵。
下面的几个说法是等价的:
矩阵A不存在逆矩阵，即是说A为不可逆矩阵，或说A是不可逆的。
矩阵A的行列式为0，写作|A|=0或det(A)=0，此时也说A为奇异矩阵，或说A是奇异的。
n阶矩阵A[:n]的秩<n，或称A为非满秩矩阵，或称降秩矩阵，或说A是非满秩的。
矩阵A为退化矩阵。在研究二次型时常用此概念。
外一则:
广义逆;
非方阵的行列式概念，我在分析之中;
非方阵的行满秩与列满秩;
注:百度网友电灯剑客认为，退化这一概念要看情况，不是通用术语，建议不要不加说明地直接使用。例如，
对于方阵而言，det(A)=0可以看作退化;但在讨论二次曲面分类的时候f(x,y,z,1)=x^2+y^2-1通常认为非退化(虽然相应的表示矩阵是奇异的);
甚至于可以定义可对角化矩阵是非退化的。
或者定义没有重特征值的矩阵是非退化的。

Answer 3

①矩阵行列式不为零
②矩阵满秩

Answer 4

秩为0的？好吧，大学时代就记住几个名词。。