证明当0<x<π/2时，tanx>x+(x^3/3)
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解答：
利用导数方法
构造f(x)=tanx-x-x³/3
则f(0)=0
f'(x)=1/cos²x-1-x²=(sin²x+cos²x)/cos²x-1-x²=tan²x-x²=(tanx+x)(tanx-x)
∵ 0<x<π/2
∴ tanx-x>0
∴ f'(x)>0
即 f(x)是增函数
∴ f(x)>f(0)
即 tanx-x-x³/3>0
即 tanx>x+x³/3
利用导数方法
构造f(x)=tanx-x-x³/3
则f(0)=0
f'(x)=1/cos²x-1-x²=(sin²x+cos²x)/cos²x-1-x²=tan²x-x²=(tanx+x)(tanx-x)
∵ 0<x<π/2
∴ tanx-x>0
∴ f'(x)>0
即 f(x)是增函数
∴ f(x)>f(0)
即 tanx-x-x³/3>0
即 tanx>x+x³/3
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