Question

已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上. (1)求圆M的方程;

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值.

Answer 1

圆心M在AB的垂直平分线上，
∵A(1，-1)，B(-1，1)，
∴AB的垂直平分线为y=x
圆心M在x+y-2=0上
x+y-2=0与y=x 联立得M(1,1)
r=|MA|=2
圆M的方程 为(x-1)^2+(y-1)^2=4

(2)过M向直线3x+4y+8=0引垂线，
垂足为P，此时Pc、Pc是圆M的两
条切线长相等且最短，四边形PcMd
面积取最小值。
M到直线3x+4y+8=0的距离
|PM|=d=|3+4+8|/√(3^2+4^2)=3
|Pc|=|Pd|=√(3^2-2^2)=√5
此时四边形PcMd面积
=2×1/2×|cM|×|Pc|=2√5
所以四边形PcMd面积的最小值为2√5。

追问

非常感谢你的详细解答！