Question

急求一道初三数学题目，要用到韦达定理.

已知关于X的方程（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）=0，（其中a,b,c均为正数）.有两个相等的实数根.
求证：以a,b,c的长为线段，能够组成一个等边三角形

要有过程！
视情况追加积分！

Answer 1

化简得到3x^2+(2a+2b+2c)x+(ab+ac+bc)=0
△=4（a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)=0
(a+b+c)^2-3(ab+ac+bc)=0
展开得a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3(ab+ac+bc)=0
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0
2（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc）=0
（a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
a=b=c

Answer 2

证明：
(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)
=3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ca).
有两个相等的实数根：所以
△=4(a+b+c)^2-12(ab+bc+ca)=0
所以a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
所以：a=b=c。
所以：以a,b,c的长为线段能围成一个等边三角形 。

Answer 3

方程化开为：3X平方+（2a+2b+2c)x+ab+bc+ac=0
因为有两个相等实数根，所以（2a+2b+2c)平方-12（ab+bc+ac)=0
化简得（a-b)平方+（b-c)平方+(c-a)平方=0

所以a=b=c