Question

初中数学题 韦达定理

关于x的一元二次方程x2-x+a-4的一根大于零，另一根小于零，求实数a的取值范围

Answer 1

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程ax＾2+bx+c=中,两根X1,X2有如下关系:x1+x2=-b/a; X1*X2=c/a.

韦达定理(Vieta's Theorem）的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*×2=c/a
用韦达定理判断方程的根
若b²-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
若b²-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b²-4ac≥0则方程有实数根
若b²-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
(x1-x2)的绝对值为(根号下b^2-4ac)/（a的绝对值）

韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0=[(-1)^n]*An*∏Xi
所以：∑Xi=[(-1)^1]*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=[(-1)^2]*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=[(-1)^n]*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积

追问

看题目

追答

有题可知，该方程有两个根，那么b2-4ac>0（1），代入数值，可以计算出a<17/4。该方程一根大于零一根小于零，那么X1*X2=c/a=a-4<0（2），代入数值，可以算出，a<4，方程成立，必须同时满足（1）和（2）条件，那么取它们的交集得出：a<4。

Answer 2

解:设两根分别为X1,X2,两根一正一负,则:X1*X2<0且必须满足b^2-4ac>0.即:
a-4<0,得:a<4;-------------------------------(1)
1-4(a-4)>0.得:a<4又1/4.------------------(2)
所以,实数a的范围是: a<4.

Answer 3

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙Δ≥0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.

追问

看题目

追答

哦，利用“X1·X2=c/a.” 求解
由题可知X1·X2小于0，所以“c/a”小于0
本题中“c”=a-4，“a”=1
即（a-4）/1小于0
则a小于4

Answer 4

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙Δ≥0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.

追问

看题目

Answer 5

x1+x2=-b/a x1乘x2=c/a 所以x1+x2=1 x1乘x2=a-4 a-4小于0 所以a大于4

追问

看题目

追答

写错了 是小于4