Question

如图，圆O是△ABC是外接圆，BC为圆O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上。求证：

（1）直线AD是园O是切线。
（2）若sin∠CAD=根号2/4，圆O的半径为8，求CD长。

Answer 1

1，证明：连接OA
∵OA=OB（同圆半径相等）
∴∠BAO=∠B（三角形中，等边对应的角相等）
∵∠CAD=∠B（已知）
∴∠BAO=∠CAD
∵BC为直径（已知）
∴∠BAO+∠OAC=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴∠CAD +∠OAC=90°
∴AD是圆的切线（过半径外端，且垂直于半径的直线是圆的切线）
2，已知sin∠ACD=√2/4，R=8
解：
a，sin∠ACB=sin(180°-∠ACD)=sin∠ACD=√2/4＜√2/2=sin45°
则：∠ACB＜45°（sina在第一象限是增函数）
所以：A点靠近B点，即过A的切线和BC的交点在圆左侧！
b，在⊿ABC中，cos∠ACB=√(1- sin∠²ACB)=√14/4
BC=2R=16，AB=BC sin∠ACB=4√2，AC=BC cos∠ACB=4√14
c，延长CB与切线交于E点，
因为：∠EAB=∠ACB（弦切角等于它所对的圆周角），∠E为公用角
所以：⊿AEB∽⊿CEA（两角对应相等，两三角形相似）
AB/AC=AE/CE=BE/AE=1/√7
AE=√7BE
AE/CE=√7BE/CE=√7BE/(BE+BC)=√7BE/(BE+16)= 1/√7
解方程得：BE=8/3
结论：当sin∠ACD=√2/4时，过A点的切线于圆在圆的左侧欲CB相交，设交点为E，则BE长为8/3
……
开始求CD长，发现CD为负值，经研究发现当A点的切线与CB交于左侧，所以：不存在D点（它的对应点为E）更无法求CD的长。只好求了BE的长。
假如你认为E就是D点，则，CD(CE)=BE+BC=16+8/3

Answer 2

连接OA作辅助线，AD为切线 所以∠OAD为直角 BC为圆直径 所以∠BAC也为直角
∠OAD=∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=∠BAC 即∠CAD=∠BAO
又因OB=OA 所以∠OBA=∠BAO=∠CAD
sin∠OBA=sin∠CAD=根号2/4 cos∠OBA=根号14/4
cos∠AOC=cos2∠OBA=cos∠OBA平方-sin∠OBA平方=根号3/2=OA/OD
OA=OC=8 OD=16/根号3 CD=OD-OC=16/根号3-8